\section{线性方程组解的结构}

\begin{frame}{齐次线性方程组解的结构}
在解决了线性方程组有解的判别条件之后， 我们进一步来讨论线性方程组解的结构。 在方程组的解是唯一的情况下， 当然没有什么结构问题， 在有多个解的情况下， 所谓解的结构问题就是解与解之间的关系问题。下面我们将证明，虽然在这时有无穷多个解， 但是全部的解都可以用有限多个解表示出来。 这就是本节要讨论的问题和要得到的主要结果。 下面的讨论当然都是对于有解的情况说的，这一点就不再每次都说明了。

\pause
上面我们提到， $n$ 元线性方程组的解是 $n$ 维向量， 在解不是唯一的情况下， 作为方程组的解的这些向量之间有什么关系呢? 我们先看齐次方程组的情形。设
\[
  \left\{\begin{array}{c}
    a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0,  \tag{1}\\
  a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \\
a_{s 1} x_{1}+a_{s 2} x_{2}+\cdots+a_{s n} x_{n}=0
\end{array}\right.
\]
是一齐次线性方程组，它的解集具有下面两个重要性质：
\pause
\begin{lemma}
  \begin{enumerate}
\item 两个解的和还是方程组的解。
  \pause
\item 一个解的倍数还是方程组的解。
\end{enumerate}
\end{lemma}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
  \item 
设 $\left(k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}\right)$ 与 $\left(l_{1}, l_{2}, \cdots, l_{n}\right)$ 是方程组 (1) 的两个解。 这就是说，把它们代入方程组，每个方程成恒等式，即
\[
  \begin{aligned}
    & \sum_{j=1}^{n} a_{i j} k_{j}=0, \quad i=1,2, \cdots, s, \\
  & \sum_{j=1}^{n} a_{i j} l_{j}=0, \quad i=1,2, \cdots, s .
  \end{aligned}
  \]
  把两个解的和
\begin{equation*}
\left(k_{1}+l_{1}, k_{2}+l_{2}, \cdots, k_{n}+l_{n}\right) \tag{2}
\end{equation*}
代入方程组，得
\[
\sum_{j=1}^{n} a_{i j}\left(k_{j}+l_{j}\right)=\sum_{j=1}^{n} a_{i j} k_{j}+\sum_{j=1}^{n} a_{i j} l_{j}=0+0=0, \quad i=1,2, \cdots, s .
\]
这说明 (2) 确实是方程组的解。 
\item 
设 $\left(k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}\right)$ 是 (1) 的一个解， 不难看出 $\left(c k_{1}, c k_{2}, \cdots, c k_{n}\right)$ 还是方程组的解，因为
\[
\sum_{j=1}^{n} a_{i j}\left(c k_{j}\right)=c \sum_{j=1}^{n} a_{i j} k_{j}=c \cdot 0=0, \quad i=1,2, \cdots, s. 
\]
\end{enumerate}
\end{proof}


\end{frame}

\begin{frame}
  从几何上看，这两个性质是清楚的。 在 $n=3$ 时，每个齐次方程表示一个过原点的平面。于是方程组的解， 也就是这些平面的交， 如果不只是原点的话， 就是一条过原点的直线或一个过原点的平面。 以原点为起点， 而端点在这样的直线或平面上的向量显然具有上述的性质。

\pause
对于齐次线性方程组，综合以上两点即得，解的线性组合还是方程组的解。 这个性质说明了， 如果方程组有几个解， 那么这些解的所有可能的线性组合就给出了很多的解。基于这个事实，我们要问： 齐次线性方程组的全部解是否能够通过它的有限的几个解的线性组合给出来? 回答是肯定的。为此，我们引入下面的定义。


\pause
\begin{definition}%定义18 
  齐次线性方程组 (1) 的一组解 $ \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{ t}$ 称为 (1) 的一个\emph{基础解系}，如果
\begin{enumerate}
  \item  方程组(1) 的任一个解都能表成 $ \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{t}$ 的线性组合;
  \item $ \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{t}$ 线性无关。
\end{enumerate}
\end{definition}

\pause
应该注意，定义中的条件 (2) 是为了保证基础解系中没有多余的解。
\pause
事实上，如果 $ \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{t}$ 线性相关，
也就是其中有一个可以表成其他的解的线性组合，譬如说， $ \eta_t$
可以表成 $ \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{t-1}$ 的线性组合，
那么 $ \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{t-1}$ 显然也具有性质 (1).

\pause
由定义容易看出，任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组都是基础解系 (读者自己证明)。
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
设一个齐次线性方程组的系数矩阵为
\[
  A=\begin{pmatrix}
    1 & 2 & 0 & 3 & 0 & 0 \\
    & & 1 & -1 & 0 & 2 \\
    & & & & 1 & 0
  \end{pmatrix}.
\]
\pause
$A$ 已然是既约的阶梯形。
\pause
我们知道 $x_2$, $x_4$, $x_6$ 是自由未知量。
\pause
任取 $x_2 = a$, $x_4 = b$, $x_6 = c$, 我们可得通解
\[
  \begin{cases}
    x_1 =  -2a - 3b\\
    x_2 =  a\\
    x_3 =  b - 2c\\
    x_4 =  b\\
    x_5 =  0\\
    x_6 =  c,
  \end{cases}
\]
其中$a,b,c\in P$为任意数。
\pause
下面我们试着用列向量的线性组合的形式把解写出来（不难想象一般地这也是可行的，因为主元对应的未知量可由自由未知量线性组合得到）。
\end{example}

\end{frame}

\begin{frame}
  \addtocounter{theorem}{-1}
  \begin{example}[续]
我们有
\[
  \begin{pmatrix}
    x_1 \\x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \\ x_6
  \end{pmatrix}=
  \begin{pmatrix}
    -2a-3b\\ a \\ b-2c\\ b \\ 0 \\c
  \end{pmatrix}
  = a \begin{pmatrix}
    -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0  \\ 0
  \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix}
    -3 \\ 0 \\1 \\ 1 \\ 0 \\0 
  \end{pmatrix}+ c\begin{pmatrix}
    0\\ 0 \\-2 \\ 0 \\ 0 \\1
  \end{pmatrix}.
\]
\pause
我们把上式等号右边的三个列向量依次记为$\eta_1, \eta_2, \eta_3$. 
\pause
这样上面的通解可表为
\[
  X=a\eta_1+b\eta_2+c\eta_3.
\]
\pause
$\eta_1 , \eta_2 , \eta_3$ 分别在 
\[
  (a, b, c) = (1, 0, 0),\; (0, 1, 0),\; (0, 0, 1)
\]
时取得，它们是所给线性方程组的解，
且任一解都是它们的线性组合；
\pause
同时不难发现它们线性无关，
因为它们可以视为线性无关的向量组$(1,0,0)^{\rT}, (0,1,0)^{\rT}, (0,0,1)^{\rT}$添加分量得到的向量组。
\pause
所以 $(\eta_1 , \eta_2 , \eta_3)$为一个基础解系。
\end{example}

\end{frame}

\begin{frame}

现在就来证明，齐次线性方程组的确有基础解系。



\begin{theorem}%定理8 
在$n$元齐次线性方程组有非零解的情况下， 它有基础解系， 并且基础解系所含解的个数等于 $n-r$, 这里 $r$ 表示系数矩阵的秩 (我们知道 $n-r$ 也就是自由未知量的个数)。
\end{theorem}

定理的证明事实上就是一个具体找基础解系的方法。

\pause
\begin{proof}
  不妨设系数矩阵$A$为既约的阶梯形，我们依然有$\rank A=r$.
  通过交换未知量的顺序（从而交换$A$的列），我们进一步可设$A$的$r$个主元落在前$r$列，即$A$形如
  \[
\left(\begin{array}{cccc|ccc}
        1 & & & &  a_{1,r+1} & \cdots & a_{1n} \\
        & 1  & & &  a_{2,r+1} & \cdots & a_{2n} \\
         & & \ddots & & \vdots &   & \vdots \\
         & &  & 1& a_{r,r+1} & \cdots &  a_{rn}\\
         \hline
           & &&  & 0 & \cdots & 0 \\
         & & & &\vdots & & \vdots \\
         &  & & & 0& \cdots & 0
     \end{array}\right).
  \]
  因此所给齐次线性方程组与下面的线性方程组同解：
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{proof}[续]
    \setlength{\arraycolsep}{2pt}
  \[
    \left\{ 
      \begin{array}[]{rrrrrrrl}
        x_1 & &  & & + a_{1,r+1}x_{r+1} & + \cdots & +a_{1n}x_n&= 0\\
        & x_2 & &  & + a_{2,r+1}x_{r+1} & + \cdots & +a_{2n}x_n&= 0\\
        & & \ddots &  && &\vdots & \\
        & & & x_r & +a_{r,r+1}x_{r+1} & +\cdots  & +a_{rn}x_n&= 0 
      \end{array}
    \right.
  \]
  任取自由未知量$x_{r+j}=c_j$ ($j=1,\cdots,n-r$), 可得通解
  \[
    \begin{pmatrix}
      x_1 \\ \vdots \\x_r \\ x_{r+1} \\ x_{r+2} \\ \vdots \\ x_n
    \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
    \sum_{j=1}^{n-r} -a_{1,r+j} c_j\\
    \vdots \\
    \sum_{j=1}^{n-r} -a_{r,r+j} c_j\\
    c_1 \\
    \vdots \\
    c_{n-j}
  \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix}
    -a_{1,r+1} \\ \vdots \\ -a_{r,r+1} \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0
  \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix}
    -a_{1,r+2} \\ \vdots \\ -a_{r,r+2} \\ 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 
  \end{pmatrix} + \cdots + 
  c_{n-r} \begin{pmatrix}
    -a_{1n} \\ \vdots \\ -a_{rn} \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1
  \end{pmatrix}.
  \]
  令等号右边的$n-r$个列向量依次为$\eta_1, \cdots, \eta_{n-r}$, 则通解可写为
  \[\tag{$*$}
    X=c_1 \eta_1 + c_2\eta_2 + \cdots + c_{n-r} \eta_{n-r}.
  \]
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{proof}[续]
  $\eta_i$是取自由未知量
  \[
    (x_{r+1},\cdots,x_n)=(c_1,\cdots,c_{n-r})=(0,\cdots,1,\cdots,0) \quad(\text{第$i$分量为$1$})
  \]
  时的解，且由 ($*$) 知所有解都是它们的线性组合；
  另外，$\eta_1,\cdots,\eta_{n-r}$线性无关，
  因为它们可以视为$n-r$维单位向量构成的线性无关的向量组
  \[
    (1,0,\cdots,0)^{\rT},\quad (0,1,\cdots,0)^{\rT},\quad \cdots,\quad (0,\cdots,0,1)^{\rT}
  \]
  添加分量得到的向量组。
  这样$\eta_1,\cdots,\eta_{n-r}$就是一个基础解系。
  由定义，两个基础解系等价，同时它们又都是线性无关的，因而有相同个数的向量。
  所以任一基础解系中包含$n-r$个解向量。
  \end{proof}

  \pause
  由证明可知，要得到齐次线性方程组的一个基础解系，只用取其中一个自由未知量为$1$
  其余自由未知量为$0$得到一个解，不同的取法能给出$n-r$个解向量，合在一起就是一个基础解系。

  \pause
\begin{example}
  求齐次线性方程组
\setlength{\arraycolsep}{2pt}
  \[
    \left\{
      \begin{array}{rrrrl}
        x_1 & +2x_2 & +x_3 & -x_4&= 0 \\
        3x_1 & +6x_2 & -x_3 & -3x_4&= 0 \\
        5x_1 & +10x_2 & +x_3 & -5x_4&= 0
      \end{array}
    \right.
  \]
  的一个基础解系，并写出其通解。
\end{example}


\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{solution}
    我们把系数矩阵行化简至阶梯形然后找到基础解系。
  化简过程如下：
  \begin{align*}   \begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & -1 \\
3 & 6 & -1 & -3 \\
5 & 10 & 1 & -5
    \end{pmatrix}
    \xrightarrow[r_3-5r_1,r_3-r_2]{r_2-3r_1}
    \begin{pmatrix}
      1 & 2 & 1 & -1\\
      0 & 0 & -4 & 0\\
      0 & 0 & 0 & 0
    \end{pmatrix}.
  \end{align*}
  所以所给线性方程组与下面的线性方程组同解：
  \[
    \left\{ 
      \begin{array}{rrrrl}
        x_1 &+2x_2 & +x_3 & -x_4 &=0\\
        &&-4x_3&&= 0.
      \end{array}
    \right.
  \]
  自由未知量为$x_2,x_4$, 一般解为
  \[
    \begin{cases}
      x_1&= -2x_2+x_4\\
      x_3&= 0.
    \end{cases}
  \]
  分别令$(x_2, x_4)=(1,0)$和$(0,1)$, 可得两个解
  \[
    \eta_1= (-2,1, 0, 0),\quad \eta_2= (1, 0, 0, 1),
\]
这两个解就构成了一个基础解系。
  该线性方程组的通解为$c_1\eta_1 + c_2\eta_2$, 其中$c_1, c_2\in P$是任意数。
  \end{solution}
\end{frame}

%
%\begin{proof}
%设方程组 (1) 的系数矩阵的秩为 $r$, 无妨设左上角的 $r$ 阶子式不等于零。 于是按 \S5 最后的分析， 方程组 (1) 与 $\S 5$ 方程组 (4) 同解， 后者可以改写成
%\[
%  \left\{\begin{array}{c}
%    a_{11} x_{1}+\cdots+a_{1 r} x_{r}=-a_{1, r+1} x_{r+1}-\cdots-a_{1 n} x_{n},  \tag{3}\\
%  a_{21} x_{1}+\cdots+a_{2 r} x_{r}=-a_{2, r+1} x_{r+1}-\cdots-a_{2 n} x_{n}, \\
%\cdots \cdots \cdots \cdots \\
%a_{r 1} x_{1}+\cdots+a_{r r} x_{r}=-a_{r, r+1} x_{r+1}-\cdots-a_{r n} x_{n} .
%\end{array}\right.
%\]
%如果 $r=n$, 那么方程组没有自由未知量， 方程组 (3) 的右端全为零。 这时方程组只有零解， 当然也就不存在基础解系。 以下设 $r<n$.
%
%我们知道， 把自由未知量的任意一组值 $\left(c_{r+1}, \cdots, c_{n}\right)$ 代入 (3), 就唯一地确定了方程组 (3)一也就是方程组 (1) 的一个解。 换句话说， 方程组 (1) 的任意两个解， 只要自由未知量的值一样， 这两个解就完全一样。 特别地， 如果在一个解中， 自由未知量的值全为零，那么这个解一定就是零解。
%
%在 (3) 中我们分别用 $n-r$ 组数
%\begin{equation*}
%(1,0, \cdots, 0), \quad(0,1, \cdots, 0), \quad \cdots, \quad(0,0, \cdots, 1) \tag{4}
%\end{equation*}
%来代自由未知量 $\left(x_{r+1}, x_{r+2}, \cdots, x_{n}\right)$, 就得出方程组 (3) 一也就是方程组 (1) 的 $n-r$ 个解， 设为
%\[\tag{5}
%  \left\{\begin{aligned}
%    &  \eta_{1}=\left(c_{11}, \cdots, c_{1 r}, 1,0, \cdots, 0\right),  \\
%  &  \eta_{2}=\left(c_{21}, \cdots, c_{2 r}, 0,1, \cdots, 0\right), \\
%& \cdots \cdots \cdots \cdots \\
%&  \eta_{n-r}=\left(c_{n-r, 1}, \cdots, c_{n-r, r}, 0,0, \cdots, 1\right) .
%\end{aligned}\right.
%\]
%我们现在来证明， (5) 就是一个基础解系。 首先证明 $ \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{n-r}$ 线性无关。 事实上，如果
%\[
%k_{1}  \eta_{1}+k_{2}  \eta_{2}+\cdots+k_{n-r}  \eta_{n-r}=\mathbf{0},
%\]
%即
%\[
%k_{1}  \eta_{1}+k_{2}  \eta_{2}+\cdots+k_{n-r}  \eta_{n-r}=\left(*, \cdots, *, k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n-r}\right)=(0, \cdots, 0,0,0, \cdots, 0) .
%\]
%比较最后 $n-r$ 个分量， 得
%\[
%k_{1}=k_{2}=\cdots=k_{n-r}=0 .
%\]
%因此， $ \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{n-r}$ 线性无关。
%
%再证明方程组 (1) 的任一个解都可以经 $ \eta_{\mathrm{r}},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{n-r}$ 线性表出。 设
%\begin{equation*}
% \eta=\left(c_{1}, \cdots, c_{r}, c_{r+1}, c_{r+2}, \cdots, c_{n}\right) \tag{6}
%\end{equation*}
%是 (1) 的一个解。 由于 $ \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{n-r}$ 是 (1) 的解， 所以线性组合
%\begin{equation*}
%c_{r+1}  \eta_{1}+c_{r+2}  \eta_{2}+\cdots+c_{n}  \eta_{n-r} \tag{7}
%\end{equation*}
%也是 (1) 的一个解。 比较 (7) 和 (6) 的最后 $n-r$ 个分量得知， 自由未知量有相同的值， 从而这两个解完全一样，即
%\begin{equation*}
% \eta=c_{r+1}  \eta_{1}+c_{r+2}  \eta_{2}+\cdots+c_{n}  \eta_{n-r} . \tag{8}
%\end{equation*}
%这就是说，任意一个解 $ \eta$ 都能表成 $ \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{n-r}$ 的线性组合。综合以上两点，我们就证明了 $ \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{n-r}$ 确为方程组 (1) 的一个基础解系，因而齐次线性方程组的确有基础解系。证明中具体给出的这个基础解系是由 $n-r$ 个解组成。 至于其他的基础解系， 由定义，一定与这个基础解系等价，同时它们又都是线性无关的，因而有相同个数的向量。这就是定理的第二部分。 \end{proof}


\begin{frame}{一般线性方程组解的结构}
下面来看一般线性方程组的解的结构。如果把一般线性方程组
\[ \tag{9}
  \left\{\begin{array}{c}
    a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1}, \\
  a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2}, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \\
a_{s 1} x_{1}+a_{s 2} x_{2}+\cdots+a_{s n} x_{n}=b_{s}
\end{array}\right.
\]
的常数项换成 $0$, 就得到齐次方程组 (1). 方程组 (1) 称为方程组 (9) 的\emph{导出组}。 
\pause
方程组 (9) 的解与它的导出组 (1) 的解之间有密切的关系：
\pause
\begin{lemma}
  \begin{enumerate}\label{110}
\item 线性方程组 (9) 的两个解的差是它的导出组 (1) 的解。
  \pause
\item 线性方程组 (9) 的一个解与它的导出组 (1) 的一个解之和还是这个线性方程组的一个解。
\end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{proof}
    \begin{enumerate}
\item 设 $\left(k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}\right),\left(l_{1}, l_{2}, \cdots, l_{n}\right)$ 是方程组 (9) 的两个解， 即
    \[
    \sum_{j=1}^{n} a_{i j} k_{j}=b_{i}, \quad \sum_{j=1}^{n} a_{i j} l_{j}=b_{i}, \quad i=1,2, \cdots, s
\]
\end{enumerate}
\end{proof}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{proof}[续]
    \begin{enumerate}
      \item (续) 它们的差是
\[
\left(k_{1}-l_{1}, k_{2}-l_{2}, \cdots, k_{n}-l_{n}\right) .
\]
显然有
\[
\sum_{j=1}^{n} a_{i j}\left(k_{j}-l_{j}\right)=\sum_{j=1}^{n} a_{i j} k_{j}-\sum_{j=1}^{n} a_{i j} l_{j}=b_{i}-b_{i}=0, \quad i=1,2, \cdots, s .
\]
这就是说， $\left(k_{1}-l_{1}, k_{2}-l_{2}, \cdots, k_{n}-l_{n}\right)$ 是导出组 (1) 的一个解。
\item 设 $\left(k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}\right)$ 是 $(9)$ 的一个解， 即
\[
\sum_{j=1}^{n} a_{i j} k_{j}=b_{i}, \quad i=1,2, \cdots, s .
\]
又设 $\left(l_{1}, l_{2}, \cdots, l_{n}\right)$ 是导出组 (1) 的一个解，即
\[
\sum_{j=1}^{n} a_{i j} l_{j}=0, \quad i=1,2, \cdots, s
\]
显然
\[
\sum_{j=1}^{n} a_{i j}\left(k_{j}+l_{j}\right)=\sum_{j=1}^{n} a_{i j} k_{j}+\sum_{j=1}^{n} a_{i j} l_{j}=b_{i}+0=b_{i}, \quad i=1,2, \cdots, s .
\]
\end{enumerate}
 \end{proof} 

 \end{frame}

 \begin{frame}

 由这两点我们很容易证明下面定理：

 \begin{theorem}%定理9 
   \label{111}
 如果 $\gamma_{0}$ 是方程组 (9) 的一个特解，那么方程组 (9) 的任一个解 $ \gamma$ 都可以表成
 \begin{equation*}
  \gamma= \gamma_{0}+ \eta \tag{10}
 \end{equation*}
 其中 $ \eta$ 是导出组 (1) 的一个解。 因此， 对于方程组 (9) 的任一个特解 $ \gamma_{0}$, 当 $ \eta$ 取遍它的导出组的全部解时， (10) 就给出 (9) 的全部解。换句话说，若$W$为导出组(1)的解集，则方程组 (9)的解集为
 \[
   \gamma_0+W=\{\gamma_0+\eta\mid \eta\in W\}.
 \]
 \end{theorem}

 \pause
   \begin{proof}
   显然
 \[
 \gamma=\gamma_{0}+\left(\gamma-\gamma_{0}\right),
 \]
 由引理~\ref{110}(1), $ \gamma-\gamma_{0}$ 是导出组 (1) 的一个解， 令
 \(
  \eta= \gamma-\gamma_{0}
 \)
 就得到定理的结论。 既然 (9) 的任一个解都能表成 (10) 的形式， 由引理~\ref{110}(2), 
 在 $ \eta$ 取遍 (1) 的全部解的时候，
 \[
 \gamma=\gamma_{0}+ \eta
 \]
 就取遍 (9) 的全部解。
 \end{proof}


 \end{frame}

 \begin{frame}

 定理~\ref{111}~说明了，为了找出一线性方程组的全部解， 我们只要找出它的一个特殊的解以及它的导出组的全部解就行了。 
\pause
 导出组是一个齐次方程组， 在上面我们已经看到，一个齐次线性方程组的解的全体可以用基础解系来表出。
\pause
 因此，根据定理我们可以用导出组的基础解系来表出一般方程组的通解： 如果 $\gamma_{0}$ 是方程组 (9) 的一个特解， $ \eta_{1}$, $ \eta_{2}, \cdots,  \eta_{n-r}$ 是其导出组的一个基础解系，那么(9) 的任一个解 $\gamma$ 都可以表成
 \[
  \gamma= \gamma_{0}+k_{1}  \eta_{1}+k_{2}  \eta_{2}+\cdots+k_{n-r}  \eta_{n-r} .
 \]

 \vspace*{-.5em}
\pause
 \begin{corollary}%推论 
 在方程组 (9) 有解的条件下， 解是唯一的充分必要条件是它的导出组 (1)只有零解。
 \end{corollary}

 \pause
 \begin{proof}
   用定理~\ref{111}~中的记号。
   显然$\gamma_0+W$只有一个元素当且仅当$W$亦如此。
   %这是因为：在解存在的条件下，由定理~\ref{194}~知(9)和(1)有唯一解都相当于$n=\rank(A)$.
   %\textbf{充分性}。 如果方程组 (9) 有两个不同的解， 那么它的差就是导出组的一个非零解。因之，如果导出组只有零解，那么方程组有唯一解。
   %\textbf{必要性}。 如果导出组有非零解， 那么这个解与方程组 (9) 的一个解 (因为它有解) 的和就是 (9) 的另一个解， 也就是说， (9) 不止一个解。 因之， 如果方程 (9) 有唯一的解， 那么它的导出组只有零解。
 \end{proof}

\pause
\begin{example}
  设一个线性方程组的增广矩阵为
\[
  \begin{pmatrix}
    A & \beta
  \end{pmatrix}=\left(\begin{array}{cccccc|c}
    1 & 2 & 0 & 3 & 0 & 0 & 1\\
    & & 1 & -1 & 0 & 2 & 2 \\
    & & & & 1 & 0 & 3
\end{array}\right).
\]
\end{example}

\end{frame}

\begin{frame}
  \addtocounter{theorem}{-1}
  \begin{example}[续]
    增广矩阵已然是既约的阶梯形。
 由该矩阵可知该线性方程组有解，
且 $x_2$, $x_4$, $x_6$ 是自由未知量。
\pause
任取 $x_2 = a$, $x_4 = b$, $x_6 = c$, 我们可得通解
\begin{multline*}
    (
    x_1, x_2,  x_3,  x_4,  x_5,  x_6
  )
  = 
  (
    1-2a-3b,  a,  2+b-2c,  b,  3, c
  )\\
  =   (
    1,  0,  2,  0,  3, 0
  )+
 a (
    -2,  1,  0,  0,  0,  0
  )+ b (
    -3,  0, 1,  1,  0, 0 
  )+ c(
    0,  0, -2,  0,  0, 1
  ),
  \end{multline*}
其中$a,b,c\in P$为任意数。
\pause
把上式等号右边的四个向量依次记为$\gamma_0, \eta_1, \eta_2, \eta_3$. 
\pause
这样上面的通解可表为
\[
  X=\gamma_0+a\eta_1+b\eta_2+c\eta_3 \qquad (a,b,c\in P).
\]
\pause
取$(a,b,c)=(0,0,0)$可知$\gamma_0$为一个特解。
\pause
从通解减去$\gamma_0$可知导出组的通解为
\[
  a\eta_1+b\eta_2+c\eta_3 \quad (a,b,c\in P).
\]
又显然$\eta_1 , \eta_2 , \eta_3$线性无关，故$\eta_1 , \eta_2 , \eta_3$为导出组的一个基础解系。

~

\pause
我们也可以按照课本上的格式，先把一般解找到：
\[
  \begin{cases}
    x_1=1-2x_2-3x_4\\
    x_3=2+x_4-2x_6\\
    x_5=3.
  \end{cases}
\]
\end{example}

\end{frame}


\begin{frame}
  \addtocounter{theorem}{-1}
  \begin{example}[续]
    取$(x_2,x_4,x_6)=(0,0,0)$可得一特解$\gamma_0=(1,0,2,0,3,0)$. 
\pause
    导出组的一般解为
\[
  \begin{cases}
    x_1=-2x_2-3x_4\\
    x_3=x_4-2x_6\\
    x_5=0.
  \end{cases}
\]
\pause
分别取$(x_2,x_4,x_6)=(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$得三个解可构成导出组的一基础解系：
\[
\begin{aligned}
\eta_1&= (
    -2,  1,  0,  0,  0,  0
    ), \\
    \eta_2&=  (
        -3,  0, 1,  1,  0, 0 
        ),\\
        \eta_3&= (
            0,  0, -2,  0,  0, 1
            ).
          \end{aligned}
\]
所给线性方程组的通解为$\gamma_0+a\eta_1+b\eta_2+c\eta_3$, 其中 $a,b,c\in P$.
\end{example}

\pause
 \begin{example}[五猴分桃]
      在一个荒岛上，$5$只猴子一起采集了一整天的桃子后就睡了。
  第二天，一只猴子先醒了，决定拿走自己的一份后仍回去睡觉。
  它拿了一个吃起来，然后开始数桃子，发现剩下的桃子可以均分成$5$份。
  它藏好了自己的一份后回去接着睡觉。
  后来又有第二只猴子醒了，也是吃了一个后发现可以分成$5$等分，
  它拿走自己的一份后也回去接着睡觉。
  其余的猴子陆续醒了，都做了同样的事情。
  请问最初桃子至少多少个？
  \end{example}
\end{frame}

\begin{frame}

\begin{solution}
  设原有$x_0$个桃子，第$i$个猴子分出的每份有$x_i$个，那么我们有$6$元线性方程组
  \[
    \left\{ 
      \begin{array}[]{rrrrrrl}
        x_0& - 5x_1& & & & & =  1\\
        & 4x_1 & - 5x_2 & & & &= 1\\
        & & 4x_2 & - 5x_3& & &= 1\\
       & & &  4x_3 & - 5x_4& &= 1\\
       & & & &  4x_4 & - 5x_5&= 1.
      \end{array}
    \right.
  \]
  容易发现该方程组的一个特解
  \[
    \alpha_0=(-4,-1,-1,-1,-1,-1);
  \]
\pause
%  原方程组的导出组
%  为
%  \[
%    \left\{ 
%      \begin{array}[]{rrrrrrl}
%        x_0& - 5x_1& & & & & =  0\\
%        & 4x_1 & - 5x_2 & & & &= 0\\
%        & & 4x_2 & - 5x_3& & &= 0 \\
%       & & &  4x_3 & - 5x_4& &= 0 \\
%       & & & &  4x_4 & - 5x_5&= 0,
%      \end{array}
%    \right.
%  \]
%  其系数矩阵已然是阶梯形，秩为$5$. 
导出组的一个基础解系为 (注意到系数矩阵的秩为$5$, 从而基础解系中仅一个向量)
  \[
    \eta=(5^5,5^4, 4\cdot 5^3, 4^2\cdot 5^2, 4^3\cdot 5, 4^4).
  \]
  \pause
  这样原方程组在有理数域上的解集为
  \[
    \alpha_0 + \bQ  \eta = 
    \{(5^5a-4, 5^4a-1, 4\cdot 5^3 a-1, 4^2\cdot 5^2a-1, 4^3\cdot 5a-1, 4^4a -1)\mid a\in \bQ\}.
  \]
  显然$x_0$的最小正整数解为（取$a=1$）
  \[
    x_0=5^5-4=3121.
  \]
\end{solution}


\end{frame}

\begin{frame}{线性方程组与解析几何}
线性方程组的理论与解析几何中关于平面与直线的讨论有密切的关系。 我们来看线性方程组
\[\tag{11}
  \left\{\begin{array}{l}
    a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+a_{13} x_{3}=b_{1},  \\
  a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+a_{23} x_{3}=b_{2}
\end{array}\right.
\]
(11) 中每一个方程表示一个平面， 线性方程组 (11) 有没有解的问题就相当于这两个平面有没有交点的问题。 我们知道， 两个平面只有在平行而不重合的情形没有交点。 (11) 的系数矩阵与增广矩阵分别是
\[
  A=\left(\begin{array}{lll}
    a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
  a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{array}\right), \quad \bar{A}=\left(\begin{array}{llll}
  a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_{1} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & b_{2}
\end{array}\right),
\]
它们的秩可能是 $1$ 或者 $2$. 有三个可能的情形：

\begin{enumerate}
    \item $ A$ 的秩 $=1$, $\overline{ A}$ 的秩 $=1$. 这就是 $ A$ 的两行成比例， 因而这两个平面平行。 又因为 $\bar{A}$的两行也成比例， 所以这两个平面重合。 方程组有解。
      \item $ A$ 的秩 $=1$, $\overline{ A}$ 的秩 $=2$. 这就是说， 两个平面平行而不重合。 方程组无解。
        \item $ A$ 的秩 $=2$. 这时 $\overline{ A}$ 的秩一定也是 2. 在几何上就是这两个平面不平行， 因而一定相交。 方程组有解。
    \end{enumerate}

下面再来看看线性方程组的解的几何意义。 设矩阵 $ A$ 的秩为 $2$, 这时通解中有一个自由未知量， 譬如说是 $x_{3}$, 一般解的形式为
\end{frame}

\begin{frame}
\[
  \left\{\begin{array}{l}
    x_{1}=d_{1}+c_{1} x_{3}  \tag{12}\\
  x_{2}=d_{2}+c_{2} x_{3}
\end{array}\right.
\]
从几何上看， 两个不平行的平面相交成一条直线。把 (12) 改写下就是直线的点向式方程
\[
\frac{x_{1}-d_{1}}{c_{1}}=\frac{x_{2}-d_{2}}{c_{2}}=x_{3} .
\]
如果引入参数 $t$, 令 $x_{3}=t$, (12) 就成为
\[
  \left\{\begin{array}{l}
    x_{1}=d_{1}+c_{1} t,  \tag{13}\\
  x_{2}=d_{2}+c_{2} t, \\
x_{3}=t .
\end{array}\right.
\]
这就是直线的参数方程。
(11) 的导出方程组是
\[
  \left\{\begin{array}{l}
    a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+a_{13} x_{3}=0  \tag{14}\\
  a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+a_{23} x_{3}=0
\end{array}\right.
\]
从几何上看， 这是两个分别与 (11) 中平面平行的且过原点的平面， 因而它们的交线过原点且与直线 (12) 平行。 既然与直线 (12) 平行， 也就是有相同的方向， 所以这条直线的参数方程就是
\[
  \left\{\begin{array}{l}
    x_{1}=c_{1} t  \tag{15}\\
  x_{2}=c_{2} t \\
x_{3}=t
\end{array}\right.
\]
(13) 与 (15) 正说明了线性方程组 (11) 与它导出方程组 (14) 的解之间的关系。
\end{frame}


\begin{frame}{小结}

  \begin{enumerate}
    \item 说说为何齐次线性方程组的解在向量的加法和数量乘法下还会给出解。
    \item 何为齐次线性方程组的基础解系？基础解系中包含几个解？
    \item 有了一个基础解系，如何表示出齐次线性方程组的所有解？
    \item 如何找到一个齐次线性方程组的基础解系？
    \item 何为一般线性方程组的导出组？
    \item 一般线性方程组的解集与导出组的解集有何关系？
    \item 如何借助导出组的基础解系表示出一般线性方程组的所有解？
  \end{enumerate}
  
\end{frame}
